Теория
Дружественные числа — пара чисел, в которой сумма собственных делителей одного равна другому, и наоборот. Самая знаменитая пара — 220 и 284: собственные делители 220 дают в сумме 284, а делители 284 дают 220. Открытие пары приписывают Пифагору.
Дружественные пары встречаются очень редко и нерегулярно: до 100 000 их известно тринадцать (220 и 284, 1184 и 1210, 2620 и 2924 и так далее). Общей формулы, дающей все пары, нет; известные конструкции используют числа Мерсенна и специальные простые.
Важно: дружественность — свойство пары: отдельного числа без пары не бывает; само число «дружественным к себе» не считается.
Пример с решением
- Условие. Проверьте, дружественны ли числа 220 и 284.
- Формула. Сумма собственных делителей: \(S(n) = \sum d\), \(d\) — делители, меньшие \(n\).
- Подстановка. Делители 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.
- Вычисление. Их сумма \(1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284\); аналогично сумма собственных делителей 284 равна 220.
- Ответ. 220 и 284 — дружественные числа. Калькулятор в режиме «Проверить» подтвердит пару; режим «Найти» до 300 найдёт эту же пару.
Главное
- Дружественная пара: сумма собственных делителей каждого числа равна другому.
- Классика: 220 и 284; до 100 000 известны 13 пар.
- Свойство парное — проверяется в обе стороны.