Теория
Один и тот же угол можно выразить в градусах или в радианах. Градус — это \(\frac{1}{360}\) полного оборота, а радиан — центральный угол, опирающийся на дугу длиной в один радиус. Так как длина окружности равна \(2\pi r\), полный оборот содержит ровно \(2\pi\) радиан.
Отсюда ключевое равенство: \(180^\circ = \pi\) радиан. Для перевода градусов в радианы угол умножают на \(\frac{\pi}{180}\), для обратного перевода — на \(\frac{180}{\pi}\).
Важно: радиан — безразмерная величина, поэтому в формулах высшей математики углы почти всегда записывают в радианах, часто вообще без единицы измерения.
Пример с решением
- Условие. Переведите \(60^\circ\) в радианы.
- Формула. Градусы в радианы: \(x = \alpha \times \frac{\pi}{180}\).
- Подстановка. \(\alpha = 60^\circ\): \(x = 60 \times \frac{\pi}{180}\).
- Вычисление. Сокращаем дробь: \(\frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\).
- Ответ. \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\) радиан. Обратно: \(\frac{5\pi}{6}\) радиан — это \(\frac{5 \times 180}{6} = 150^\circ\); калькулятор в режиме «Радианы → градусы» даст то же самое.
Главное
- Ключевая связь: \(180^\circ = \pi\) радиан.
- В радианы умножаем на \(\frac{\pi}{180}\), в градусы — на \(\frac{180}{\pi}\).
- Полный оборот — \(360^\circ\) или \(2\pi\); прямой угол — \(90^\circ\) или \(\frac{\pi}{2}\).