Теория
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа \(d\) — разности прогрессии. Если \(d > 0\), последовательность растёт равномерно, если \(d < 0\) — убывает.
Сумму первых членов считают знаменитым приёмом Гаусса: слагаемые разбивают на пары «первый с последним», «второй с предпоследним» и так далее. В каждой паре сумма одинакова, поэтому общая сумма — это полусумма крайних членов, умноженная на число пар.
Важно: арифметическая прогрессия растёт «по сложению» — на одну и ту же величину за шаг, в отличие от геометрической, которая растёт «по умножению».
Пример с решением
- Условие. Дана прогрессия с \(a_1 = 1\) и \(d = 2\). Найти пятый член и сумму первых пяти.
- Формула. Каждый шаг прибавляет \(d\): выписываем члены по порядку.
- Подстановка. \(1, 3, 5, 7, 9\) — пятый член \(a_5 = 9\).
- Вычисление. Сумма: \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25\) (пять нечётных чисел дают \(5^2\)).
- Ответ. \(a_5 = 9\), \(S_5 = 25\). Калькулятор в режиме «Сумма первых n» с полями «Первый член a₁» = 1, «Разность d» = 2, «n» = 5 выдаст те же значения.
Главное
- Арифметическая прогрессия — последовательность с постоянной разностью \(d\).
- Члены выписываются прибавлением \(d\) на каждом шаге.
- Сумма — приём Гаусса: полусумма крайних, умноженная на число членов.