Теория
Банковская задача (задание 15 профильного ЕГЭ) описывает кредит: в начале каждого года банк увеличивает долг на \(r\) процентов, затем заёмщик вносит платёж. Схем две. При равных платежах (аннуитет) каждый год вносится одна и та же сумма, и она находится по формуле \(X = \frac{S q^n (q-1)}{q^n - 1}\), где \(S\) — сумма кредита, \(n\) — срок в годах, \(q = 1 + \frac{r}{100}\). При схеме с равномерным уменьшением долга долг каждый год становится меньше на одну и ту же величину \(S/n\), а платёж складывается из процентов за год и этой части долга — поэтому платежи убывают.
В задачах спрашивают разное: платёж, ставку, срок или общую сумму выплат. Ставку из формулы платежа «в одну строку» не выразить — её находят подбором, сравнивая расчётный платёж с известным (чем больше ставка, тем больше платёж). Срок выражается логарифмом: \(n = \frac{\ln\frac{X}{X - S(q-1)}}{\ln q}\); если получается нецелое число, берут целое с избытком, и последний платёж будет меньше.
Полезная проверка: при схеме с равномерным уменьшением долга сумма процентов равна \(S \cdot \frac{r}{100} \cdot \frac{n+1}{2}\) (проценты убывают как арифметическая прогрессия), поэтому общая сумма выплат \(S + S\frac{r}{100}\cdot\frac{n+1}{2}\) — она меньше, чем при равных платежах.
Важно: в формуле платежа q — это коэффициент роста за год, то есть \(1 + r/100\), а не сам процент. Ставка 10 % годовых даёт \(q = 1{,}1\).
Пример с решением
- Условие. Кредит 1 000 000 рублей под 10 % годовых на 5 лет, платежи равные. Найдите платёж и переплату.
- Коэффициент роста. \(q = 1 + 10/100 = 1{,}1\), \(q^5 = 1{,}61051\).
- Формула. \(X = \frac{S q^n (q-1)}{q^n - 1}\).
- Подстановка. \(X = \frac{1,000,000 \cdot 1{,}61051 \cdot 0{,}1}{0{,}61051} \approx 263,797{,}48\).
- Общая сумма. \(263,797{,}48 \cdot 5 = 1,318,987{,}40\) рубля.
- Переплата. \(1,318,987{,}40 - 1,000,000 = 318,987{,}40\) рубля, то есть около 32 %.
- Другая схема. Если долг уменьшать равномерно, проценты дадут \(1,000,000 \cdot 0{,}1 \cdot 3 = 300,000\), а всего выплат будет 1 300 000 рублей — на 18 987 рублей меньше.
Главное
- Равные платежи: \(X = \frac{S q^n (q-1)}{q^n - 1}\), \(q = 1 + r/100\).
- Срок: \(n = \frac{\ln(X/(X - S(q-1)))}{\ln q}\); нужен целый срок — округляем вверх.
- Ставку находят подбором: формула платежа монотонно растёт вместе со ставкой.
- Равномерное уменьшение долга: платёж года \(k\) равен процентам на текущий долг плюс \(S/n\); выплаты убывают.