Движение по окружности

Теория

При равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется, но направление меняется постоянно — значит, тело движется с ускорением. Это ускорение направлено к центру окружности и называется центростремительным: \(a = \frac{v^2}{R}\). Без него тело полетело бы по касательной, поэтому его создаёт связь: натяжение нити, трение, сила тяготения.

По второму закону Ньютона та же связь действует на тело с силой \(F = ma = \frac{mv^2}{R}\). Чем меньше радиус и больше скорость, тем больше нужная сила: на повороте малого радиуса велосипедисту приходится наклоняться сильнее.

Период \(T\) — время одного полного оборота. За период тело проходит длину окружности \(2\pi R\), значит \(v = \frac{2\pi R}{T}\). Угловая скорость \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{v}{R}\) показывает угол поворота за секунду, а частота \(\nu = \frac{1}{T}\) — число оборотов за секунду. Все эти величины связаны: зная две из них, можно найти остальные.

Важно: центростремительное ускорение не меняет модуль скорости — только её направление. Работу оно не совершает, хотя сила и ускорение отличны от нуля.

Пример с решением

1. Условие. Тело движется по окружности радиусом 1 м и совершает оборот за 2 с. Найдите скорость, ускорение и угловую скорость.
2. Скорость. \(v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \times 1}{2} = \pi \approx 3{,}14\) м/с.
3. Угловая скорость. \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi \approx 3{,}14\) рад/с.
4. Ускорение. \(a = \frac{v^2}{R} = \frac{\pi^2}{1} \approx 9{,}87\) м/с².
5. Сила. Если масса тела 1 кг, то \(F = ma \approx 9{,}87\) Н — такую силу должна обеспечивать нить.
6. Ответ. \(v \approx 3{,}14\) м/с, \(a \approx 9{,}87\) м/с², \(F \approx 9{,}87\) Н. В калькуляторе это режим «Радиус и период» с полями \(R = 1\) и \(T = 2\).

Главное

• Центростремительное ускорение: \(a = \frac{v^2}{R}\), направлено к центру окружности.
• Сила: \(F = \frac{mv^2}{R}\) — её создаёт связь (нить, трение, тяготение).
• Связь величин: \(v = \frac{2\pi R}{T}\), \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{v}{R}\), \(\nu = \frac{1}{T}\).
• Смысл: ускорение меняет только направление скорости, поэтому модуль скорости постоянен.