Теория
Комплексные числа появились из простого вопроса: у уравнения \(x^2 = -1\) нет действительных корней, потому что квадрат любого числа неотрицателен. Математики ввели мнимую единицу \(i\) с главным свойством \(i^2 = -1\) — и задача получила решение: \(x = i\) и \(x = -i\).
Комплексное число записывают в виде \(a + bi\), где \(a\) — действительная часть, \(b\) — мнимая. Складывают и вычитают такие числа по частям, а при умножении раскрывают скобки, заменяя \(i^2\) на −1. Модуль числа — его «длина» на комплексной плоскости.
Важно: \(i^2 = -1\) — единственное правило, которое отличает арифметику комплексных чисел от обычной; всё остальное — обычное раскрытие скобок.
Пример с решением
- Условие. Перемножить \((1 + 2i)\) и \((3 + 4i)\).
- Формула. Раскрываем скобки, затем заменяем \(i^2\) на −1.
- Подстановка. \(1 \times 3 + 1 \times 4i + 2i \times 3 + 2i \times 4i = 3 + 4i + 6i + 8i^2\).
- Вычисление. \(3 + 10i + 8 \times (-1) = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\).
- Ответ. \(-5 + 10i\). Калькулятор в режиме «Умножение» с полями «Действительная часть 1» = 1, «Мнимая часть 1» = 2, «Действительная часть 2» = 3, «Мнимая часть 2» = 4 выдаст тот же результат.
Главное
- Мнимая единица \(i\) определяется условием \(i^2 = -1\).
- Комплексное число — сумма действительной и мнимой частей: \(a + bi\).
- Арифметика сводится к раскрытию скобок и замене \(i^2\) на −1.