Теория
Кубическое уравнение — уравнение третьей степени: \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) с ненулевым \(a\). У него не больше трёх корней, и в отличие от квадратного хотя бы один действительный корень есть всегда: кубическая парабола обязательно пересекает ось абсцисс, ведь её график уходит в противоположные бесконечности.
Если все три корня — целые, уравнение раскладывается на множители, и корни читаются из разложения напрямую. Общий способ решения — формулы Кардано, но на практике сначала пробуют угадать целый корень и понизить степень.
Важно: действительных корней у кубического уравнения от одного до трёх, а вот комплексных корней (с учётом кратности) всегда ровно три.
Пример с решением
- Условие. Решить уравнение \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\).
- Формула. Проверим разложение на множители: \((x-1)(x-2)(x-3)\).
- Подстановка. Раскрываем скобки: произведение трёх двучленов.
- Вычисление. \((x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) — совпало с уравнением.
- Ответ. Корни \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = 3\). Калькулятор с полями «Коэффициент a» = 1, «Коэффициент b» = −6, «Коэффициент c» = 11, «Свободный член d» = −6 выдаст те же три корня.
Главное
- Кубическое уравнение может иметь от одного до трёх действительных корней.
- Хотя бы один действительный корень есть всегда.
- Целые корни можно найти разложением на множители.