Теория
Производная функции в точке — это скорость её изменения: предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Геометрический смысл — угловой коэффициент касательной, проведённой к графику в этой точке: \(f'(x_0) = \operatorname{tg}\alpha\), где \(\alpha\) — угол наклона касательной к оси абсцисс. Поэтому по производной сразу видно, куда и как быстро «идёт» график.
Для степенной функции действует правило \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\): показатель идёт множителем, а степень уменьшается на единицу. Многочлен дифференцируется почленно, постоянный множитель сохраняется: \((c \cdot x^n)' = c \cdot n \cdot x^{n-1}\), а производная константы равна нулю. Так, \((x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x\).
Знак производной отвечает за монотонность: там, где \(f'(x) \gt 0\), функция возрастает, где \(f'(x) \lt 0\) — убывает. В точке экстремума производная меняет знак, поэтому её и приравнивают к нулю — но одного равенства \(f'(x) = 0\) мало.
Важно: равенство \(f'(x_0) = 0\) — необходимое, но не достаточное условие экстремума: у функции \(x^3\) производная \(3x^2\) равна нулю в точке 0, однако знак не меняется, и экстремума там нет.
Пример с решением
- Условие. Дана функция \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). Найдите \(f'(2)\) и уравнение касательной в точке \(x_0 = 2\).
- Правило. \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\), постоянный множитель сохраняется, сумма дифференцируется почленно.
- Подстановка. \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 0 = 3x^2 - 6x\).
- Вычисление. \(f'(2) = 3 \times 2^2 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0\), а значение функции \(f(2) = 8 - 12 + 2 = -2\).
- Касательная. \(y = f(2) + f'(2)(x - 2) = -2 + 0 \times (x - 2) = -2\) — горизонтальная прямая.
- Экстремумы. Производная \(3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\) равна нулю при \(x = 0\) и \(x = 2\); при переходе через 0 знак меняется с «+» на «−» (максимум, \(f(0) = 2\)), через 2 — с «−» на «+» (минимум, \(f(2) = -2\)).
- Ответ. \(f'(2) = 0\), касательная \(y = -2\), максимум в точке \((0; 2)\), минимум в точке \((2; -2)\). Калькулятор в режиме «Экстремумы и монотонность» выдаёт те же точки и промежутки.
Главное
- Правило степени: \((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\), производная константы равна нулю.
- Многочлен дифференцируется почленно, постоянный множитель сохраняется.
- Касательная: \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\), где \(f'(x_0)\) — угловой коэффициент.
- Монотонность: \(f' \gt 0\) — функция возрастает, \(f' \lt 0\) — убывает, экстремум — там, где производная меняет знак.