Производные и первообразные

Правила дифференцирования и таблица производных с первообразными основных функций

Правила дифференцирования

Правило	Формула
Константа	\( (C)^′ = 0 \)
Сумма и разность	\( (u \pm v)^′ = u^′ \pm v^′ \)
Постоянный множитель	\( (C \cdot u)^′ = C \cdot u^′ \)
Произведение	\( (u \cdot v)^′ = u^′ v + u v^′ \)
Частное	\( \left(\dfrac{u}{v}\right)^′ = \dfrac{u^′ v - u v^′}{v^2} \)
Сложная функция	\( \big(f(g(x))\big)^′ = f^′(g(x)) \cdot g^′(x) \)

Производные и первообразные основных функций

Функция f(x)	Производная f′(x)	Первообразная F(x)
\( C \)	\( 0 \)	\( Cx \)
\( x \)	\( 1 \)	\( \dfrac{x^2}{2} \)
\( x^n \)	\( n x^{n-1} \)	\( \dfrac{x^{n+1}}{n+1},\ n \ne -1 \)
\( \sqrt{x} \)	\( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)	\( \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3} \)
\( \dfrac{1}{x} \)	\( -\dfrac{1}{x^2} \)	\( \ln \|x\| \)
\( e^x \)	\( e^x \)	\( e^x \)
\( a^x \)	\( a^x \ln a \)	\( \dfrac{a^x}{\ln a} \)
\( \ln x \)	\( \dfrac{1}{x} \)	\( x\ln x - x \)
\( \log_a x \)	\( \dfrac{1}{x \ln a} \)	\( \dfrac{x \ln x - x}{\ln a} \)
\( \sin x \)	\( \cos x \)	\( -\cos x \)
\( \cos x \)	\( -\sin x \)	\( \sin x \)
\( \operatorname{tg} x \)	\( \dfrac{1}{\cos^2 x} \)	\( -\ln \|\cos x\| \)
\( \operatorname{ctg} x \)	\( -\dfrac{1}{\sin^2 x} \)	\( \ln \|\sin x\| \)
\( \arcsin x \)	\( \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)	\( x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} \)
\( \arccos x \)	\( -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)	\( x\arccos x - \sqrt{1-x^2} \)
\( \operatorname{arctg} x \)	\( \dfrac{1}{1+x^2} \)	\( x\operatorname{arctg} x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) \)
\( \operatorname{arcctg} x \)	\( -\dfrac{1}{1+x^2} \)	\( x\operatorname{arcctg} x + \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) \)

Первообразные записаны с точностью до постоянной C: любые две первообразные одной функции отличаются на константу.

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Теория

Производная показывает скорость изменения функции: она равна угловому коэффициенту касательной к графику. Для степенной функции действует правило \((x^n)^′ = n x^{n-1}\), а сумма и разность дифференцируются почленно: производная суммы равна сумме производных.

Первообразная — обратная операция: функция F называется первообразной для f, если \(F^′ = f\). Первообразная определяется с точностью до постоянной C, поэтому её всегда записывают с «плюс C»: у \(x^2\) и \(x^2 + 5\) одна и та же производная.

Правила дифференцирования нужны, когда функция составная: произведение, частное и сложную функцию раскладывают на простые по таблице. Для сложной функции работает цепочка: сначала производная внешней функции, затем умножение на производную внутренней.

Важно: таблица читается в двух направлениях: слева направо — производные, справа налево, с точностью до C, — первообразные.

Пример с решением

Условие. Для \(f(x) = x^3 - 2x\) найти производную и первообразную.
Правило. Степень: \((x^n)^′ = n x^{n-1}\); сумма берётся почленно.
Производная. \(f^′(x) = 3x^2 - 2\).
Первообразная. \(F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + C\).
Проверка. \(F^′(x) = x^3 - 2x = f(x)\) — верно.

Главное

Производная — скорость изменения; первообразная — обратная операция с точностью до C.
В таблице пять правил: степень, сумма, множитель, произведение, частное, сложная функция.
Проверка первообразной простая: её производная должна дать исходную функцию.