Теория
При дифференцированной схеме кредит гасят так: каждый месяц банку возвращают одну и ту же часть основного долга, равную \(S / n\), где \(S\) — сумма кредита, а \(n\) — срок в месяцах. Проценты при этом начисляются не на всю сумму, а на остаток долга: в первый месяц — на все \(S\), во второй — на \(S - S/n\), и так далее. Поэтому платёж получается разным: он максимален в первый месяц и плавно убывает к последнему.
Платёж k-го месяца считается так: \(P_k = S/n + (S - (k-1)\cdot S/n) \cdot i\), где \(i = r / 1200\) — месячная ставка в долях (годовая ставка \(r\) процентов, делённая на 12 месяцев и на 100). Проценты образуют убывающую арифметическую прогрессию, и их сумма равна \(S \cdot i \cdot (n+1)/2\), а общая выплата — \(S\) плюс эти проценты.
Сравним с аннуитетом: там платёж одинаковый весь срок, и в первые месяцы он почти целиком уходит на проценты. Дифференцированная схема даёт меньшую переплату, но требует большей платёжеспособности в начале: первый платёж заметно выше аннуитетного, а последний — ниже.
Важно: у дифференцированного платежа нет одной «суммы платежа» — банк списывает разное каждый месяц, поэтому в графике ипотеки ищут не платёж, а диапазон: от первого до последнего.
Пример с решением
- Условие. Кредит \(S = 1\,000\,000\) ₽ на 5 лет под 12 % годовых, схема дифференцированная.
- Срок в месяцах. \(n = 5 \times 12 = 60\).
- Месячная ставка. \(i = 12 / 1200 = 0{,}01\) (то есть 1 % в месяц).
- Основной долг. \(S / n = 1\,000\,000 / 60 = 16\,666{,}67\) ₽ каждый месяц.
- Первый платёж. Проценты: \(1\,000\,000 \times 0{,}01 = 10\,000\) ₽. Платёж: \(16\,666{,}67 + 10\,000 = 26\,666{,}67\) ₽.
- Последний платёж. К началу 60-го месяца остаток равен \(S/n = 16\,666{,}67\) ₽, проценты \(16\,666{,}67 \times 0{,}01 = 166{,}67\) ₽, платёж \(16\,666{,}67 + 166{,}67 = 16\,833{,}33\) ₽.
- Переплата. \(S \cdot i \cdot (n+1)/2 = 1\,000\,000 \times 0{,}01 \times 61 / 2 = 305\,000\) ₽. Общая выплата — \(1\,305\,000\) ₽.
- Ответ. Платежи убывают на \(16\,666{,}67 \times 0{,}01 = 166{,}67\) ₽ в месяц: от 26 666,67 ₽ до 16 833,33 ₽. Для сравнения аннуитетный платёж при тех же условиях составил бы 22 244,45 ₽ в месяц с переплатой около 334 667 ₽ — то есть дороже, но ровнее по нагрузке.
Главное
- Основной долг при дифференцированной схеме гасится равными долями \(S/n\), поэтому долг уменьшается линейно.
- Проценты начисляются на остаток, значит платёж убывает: первый — самый большой, последний — самый маленький.
- Переплата равна \(S \cdot i \cdot (n+1)/2\) и всегда меньше аннуитетной при той же ставке.
- Компромисс: экономия на процентах против высокой нагрузки в первые месяцы.