Теория
Показательное уравнение содержит неизвестное в показателе степени: \(a^x = b\). Если \(a > 0\) и \(a \ne 1\), показательная функция монотонна, поэтому каждое своё значение она принимает ровно один раз. Отсюда главный инструмент — определение логарифма: \(a^x = b\) равносильно \(x = \log_a b\). При \(b \le 0\) решений нет: положительное число в любой степени остаётся положительным.
Логарифмическое уравнение \(\log_a x = b\) решается потенцированием: \(x = a^b\). Здесь работает то же определение, только прочитанное в обратную сторону. Если под логарифмом стоит выражение с \(x\), а логарифмы имеют одинаковое основание, их «снимают»: \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\) равносильно \(f(x) = g(x)\), но только при \(f(x) > 0\) и \(g(x) > 0\).
Важно: равенство аргументов — ещё не ответ. Корни, при которых хотя бы один аргумент логарифма неположителен, обязательно отбрасывают — это и есть отбор по ОДЗ.
Пример с решением
- Условие. Решить уравнение \(\log_2 (2x + 1) = \log_2 (x + 4)\).
- ОДЗ. \(2x + 1 > 0\) и \(x + 4 > 0\), то есть \(x > -0{,}5\) и \(x > -4\); вместе это \(x > -0{,}5\).
- Снятие логарифмов. Основание \(2 > 0\) и \(2 \ne 1\), значит \(2x + 1 = x + 4\).
- Решение. \(2x - x = 4 - 1\), откуда \(x = 3\).
- Отбор корней. \(f(3) = 7 > 0\) и \(g(3) = 7 > 0\) — корень входит в ОДЗ. Если бы корень дал отрицательный аргумент, его пришлось бы отбросить и ответить «решений нет».
- Ответ. \(x = 3\). Калькулятор в режиме «log_a f(x) = log_a g(x)» покажет те же шаги и ту же проверку.
Главное
- Показательное уравнение: \(a^x = b\) при \(a > 0\), \(a \ne 1\) даёт \(x = \log_a b\); при \(b \le 0\) решений нет.
- Логарифмическое уравнение: \(\log_a x = b\) даёт \(x = a^b\), причём \(x > 0\) выполняется автоматически.
- Равные основания: \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) равносильно \(f(x) = g(x)\).
- ОДЗ логарифма: аргумент строго положителен, корни вне ОДЗ отбрасывают.