Теория
Факториал числа \(n\) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\). Он отвечает на вопрос «сколькими способами можно расставить \(n\) разных предметов в ряд?»: первую позицию занимает любой из \(n\) предметов, вторую — любой из оставшихся \((n-1)\), и так далее.
Каждый следующий факториал получается из предыдущего умножением: если \(5! = 120\), то \(6! = 5! \times 6 = 720\). Для нуля договорились считать \(0! = 1\) — это число способов расставить пустое множество.
Важно: факториал растёт чрезвычайно быстро — всего \(10!\) уже больше трёх миллионов, поэтому точно его считают лишь для сравнительно небольших \(n\).
Пример с решением
- Условие. Сколькими способами можно расставить на полке 5 разных книг?
- Формула. Число перестановок — факториал: перемножаем все числа от 1 до 5.
- Подстановка. \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5\).
- Вычисление. \(1 \times 2 = 2\), \(2 \times 3 = 6\), \(6 \times 4 = 24\), \(24 \times 5 = 120\).
- Ответ. 120 способов. Калькулятор с полем «n», равным 5, выдаст 5! = 120.
Главное
- Факториал — произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).
- Смысл факториала — число перестановок \(n\) разных предметов.
- По соглашению \(0! = 1\), а каждый следующий факториал равен предыдущему, умноженному на новое \(n\).