Теория
Числа Фибоначчи задаются правилом: каждое следующее равно сумме двух предыдущих — \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\), причём \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\). Ряд начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
Эта последовательность возникает в природе (расположение листьев, спирали подсолнуха) и в математике: отношение соседних чисел \(F_n / F_{n-1}\) стремится к золотому сечению \(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\). Прямую формулу даёт выражение через корни: \(F_n = \frac{\varphi^n - (-\varphi)^{-n}}{\sqrt{5}}\).
Важно: нумерация начинается с \(F_0 = 0\) — десятое число последовательности равно 55, а не 89.
Пример с решением
- Условие. Найдите \(F_7\) — седьмое число Фибоначчи.
- Формула. \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\), \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\).
- Подстановка. Считаем по порядку: \(F_2 = 1 + 0 = 1\), \(F_3 = 1 + 1 = 2\), \(F_4 = 2 + 1 = 3\), \(F_5 = 3 + 2 = 5\), \(F_6 = 5 + 3 = 8\).
- Вычисление. \(F_7 = 8 + 5 = 13\).
- Ответ. \(F_7 = 13\). Калькулятор в режиме «n-й член» с полем n = 7 даст 13; режим «Последовательность» с n = 6 выпишет 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8.
Главное
- Правило: \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\), начало \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\).
- Отношение соседних членов стремится к золотому сечению.
- Ряд растёт очень быстро: \(F_{20} = 6765\), \(F_{50} \approx 1{,}26 \times 10^{10}\).