Теория
Наибольший общий делитель (НОД) — самое большое число, на которое делятся без остатка оба данных числа. Наименьшее общее кратное (НОК) — самое маленькое число, которое само делится на оба данных. Эти понятия нужны при сокращении дробей и приведении их к общему знаменателю.
НОД находят по алгоритму Евклида: делят большее число на меньшее, затем остаток делят на предыдущий остаток и так далее, пока остаток не станет нулём — последний ненулевой остаток и есть НОД. НОК связан с НОД простой формулой: \(\operatorname{НОК}(a,b) = \frac{a \times b}{\operatorname{НОД}(a,b)}\).
Важно: НОД двух чисел не может быть больше меньшего из них, а НОК — меньше большего.
Пример с решением
- Условие. Найдите НОД и НОК чисел 48 и 36.
- Формула. НОД — по алгоритму Евклида; НОК: \(\frac{a \times b}{\operatorname{НОД}}\).
- Подстановка. \(48 = 36 \times 1 + 12\), \(36 = 12 \times 3 + 0\) — последний ненулевой остаток 12.
- Вычисление. НОД = 12; НОК = \(\frac{48 \times 36}{12} = \frac{1728}{12} = 144\).
- Ответ. НОД(48, 36) = 12, НОК(48, 36) = 144. Калькулятор с полями 48 и 36 покажет оба значения.
Главное
- НОД — наибольший общий делитель, ищется алгоритмом Евклида.
- НОК — наименьшее общее кратное: \(\operatorname{НОК} = \frac{a \times b}{\operatorname{НОД}}\).
- Сокращение дробей использует НОД, приведение к общему знаменателю — НОК.