Геометрическая прогрессия

Теория

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\) — знаменатель прогрессии. Такой рост называют экспоненциальным: чем дальше, тем быстрее растут члены.

Классическая иллюстрация — легенда о шахматной доске: за первую клетку одно зерно, за каждую следующую вдвое больше. На последней, 64-й клетке оказалось бы \(2^{63}\) зёрен — больше, чем выращивает весь мир за год.

Важно: геометрическая прогрессия растёт «по умножению»: соседние члены отличаются в одно и то же число раз, а не на одну и ту же величину.

Пример с решением

1. Условие. Прогрессия с \(b_1 = 2\) и \(q = 3\). Найти четвёртый член и сумму первых четырёх.
2. Формула. Каждый шаг умножает на \(q\): выписываем члены по порядку.
3. Подстановка. \(2, 6, 18, 54\) — четвёртый член \(b_4 = 54\).
4. Вычисление. Сумма: \(2 + 6 + 18 + 54 = 80\).
5. Ответ. \(b_4 = 54\), \(S_4 = 80\). Калькулятор в режиме «Сумма первых n» с полями «Первый член b₁» = 2, «Знаменатель q» = 3, «n» = 4 выдаст те же значения.

Главное

• Геометрическая прогрессия — последовательность с постоянным знаменателем \(q\).
• Члены получаются умножением на \(q\) на каждом шаге.
• Рост экспоненциальный — быстрее, чем у арифметической прогрессии.