Решение неравенств

Теория

Неравенство с одной переменной — это условие вида \(f(x) \gtrless 0\), где вместо знака равенства стоит один из знаков: больше, больше или равно, меньше, меньше или равно. Решением неравенства называют не одно число, а множество всех значений переменной, при которых условие верно, — обычно это промежуток или объединение нескольких промежутков на числовой прямой.

Линейное неравенство \(ax + b \gtrless 0\) решают почти как линейное уравнение: свободный член переносят в правую часть, а затем делят обе части на \(a\). Главный момент темы — знак коэффициента \(a\): при делении на положительное число знак неравенства сохраняется, при делении на отрицательное — меняется на противоположный. Отсюда и скобки в ответе: у строгого неравенства точка выколота и скобка круглая, у нестрогого — закрашена и скобка квадратная.

Квадратное неравенство \(ax^2 + bx + c \gtrless 0\) удобнее всего решать через параболу: при \(a > 0\) её ветви идут вверх, при \(a < 0\) — вниз, а корни \(x_1\) и \(x_2\) задают точки пересечения с осью абсцисс. Если корней нет, выражение всюду сохраняет знак коэффициента \(a\). Метод интервалов работает с произведением множителей: корни отмечают на прямой, знаки чередуются справа налево, и из полученных промежутков выбирают те, что подходят по знаку неравенства. Множитель \((x - 0{,}5)\) даёт, например, корень \(0{,}5\).

Важно: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный — это самая частая ошибка в теме.

Пример с решением

1. Условие. Решить неравенство \(x^2 - 5x + 6 > 0\).
2. Дискриминант. \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1\).
3. Корни. \(x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2}\), то есть \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
4. Знаки. Ветви параболы направлены вверх, поэтому схема знаков такая: \(+\), \(-\), \(+\) — вне корней выражение положительно.
5. Ответ. \(x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)\). Калькулятор с коэффициентами a = 1, b = −5, c = 6 и знаком «>» выдаст тот же ответ, а в режиме «Метод интервалов» с корнями 1, 2, 3 покажет расстановку знаков на прямой.

Главное

• Решение неравенства — множество значений переменной, а не одно число.
• Деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный.
• Ветви параболы идут вверх при \(a > 0\) и вниз при \(a < 0\).
• Метод интервалов: корни, чередование знаков справа налево, выбор нужных промежутков.