Первообразная и интеграл

Теория

Первообразная функции \(f(x)\) — это такая функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\). Первообразных бесконечно много и все они отличаются на постоянную, поэтому ответ всегда пишут с \(+ C\): например, для \(f(x) = x\) первообразная \(F(x) = \frac{x^2}{2} + C\), ведь \(\left(\frac{x^2}{2}\right)' = x\). Для степенной функции правило обратно правилу производной: степень повышается на единицу, а коэффициент делится на новую степень — \(\int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\).

Определённый интеграл \(\int_a^b f(x),dx\) вычисляют по формуле Ньютона–Лейбница: \(\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)\), где \(F\) — любая первообразная. Постоянная \(C\) при вычитании сокращается, поэтому её можно не писать. Если поменять пределы местами, интеграл меняет знак, а при \(a = b\) обращается в ноль — всё это автоматически следует из формулы.

Геометрический смысл: интеграл — это алгебраическая сумма площадей со знаком, а площадь криволинейной трапеции (фигуры под графиком) равна модулю интеграла. Если функция на отрезке меняет знак, часть фигуры лежит ниже оси, и алгебраическая сумма уже не равна геометрической площади: для настоящей площади отрезок разбивают на участки знакопостоянства.

Важно: первообразная определяется с точностью до постоянной \(C\), поэтому «забыть + C» — самая частая ошибка; в определённом интеграле эта постоянная сокращается сама.

Пример с решением

1. Условие. Вычислить \(\int_0^2 x,dx\) и найти площадь фигуры под графиком \(y = x\) на отрезке \([0; 2]\).
2. Правило. Степень повышаем на 1 и делим коэффициент на новую степень: \(x^1 \to \frac{x^2}{2}\).
3. Первообразная. \(F(x) = \frac{x^2}{2} + C\).
4. Подстановка. По формуле Ньютона–Лейбница: \(F(2) - F(0) = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2 - 0 = 2\).
5. Проверка. Метод трапеций со 100 разбиениями даёт то же значение \(2\), а дифференцирование возвращает исходную функцию: \(\left(\frac{x^2}{2}\right)' = x\).
6. Площадь. Функция на отрезке неотрицательна, поэтому площадь равна модулю интеграла: \(|2| = 2\) — это площадь прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2, то есть \(\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\).
7. Ответ. \(\int_0^2 x,dx = 2\), площадь равна 2. Калькулятор в режиме «Определённый интеграл» с коэффициентами 0 1 0 и пределами 0 и 2 выдаёт тот же результат.

Главное

• Первообразная: \(\int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), степень повышается, коэффициент делится на новую степень.
• Ньютона–Лейбница: \(\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)\); постоянная \(C\) сокращается.
• Пределы: при \(a \gt b\) интеграл меняет знак, при \(a = b\) равен нулю.
• Площадь — модуль интеграла; при смене знака функции это уже не геометрическая площадь, а алгебраическая сумма.