Теория
Обратные тригонометрические функции отвечают на вопрос «какой угол имеет данный синус, косинус, тангенс или котангенс?». Если \(\sin\alpha = x\), то \(\alpha = \arcsin x\). Аналогично определяются арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Каждая обратная функция однозначна только на своей области значений, иначе одному значению синуса соответствовало бы бесконечно много углов. По соглашению \(\arcsin x\) и \(\arctan x\) лежат в пределах от \(-90^\circ\) до \(90^\circ\), \(\arccos x\) и \(\operatorname{arcctg} x\) — от \(0^\circ\) до \(180^\circ\).
Важно: арксинус и арккосинус определены только для аргументов от \(-1\) до \(1\) — синус и косинус не бывают больше единицы по модулю.
Пример с решением
- Условие. Найдите \(\arcsin 0{,}5\) в градусах.
- Формула. По определению \(\arcsin x = \alpha\), если \(\sin\alpha = x\) и \(-90^\circ \le \alpha \le 90^\circ\).
- Подстановка. Ищем угол, синус которого равен \(0{,}5\): \(\sin 30^\circ = 0{,}5\).
- Вычисление. Угол \(30^\circ\) попадает в промежуток \([-90^\circ; 90^\circ]\) — значит, \(\arcsin 0{,}5 = 30^\circ\).
- Ответ. \(\arcsin 0{,}5 = 30^\circ\) (или \(\pi/6\) радиан). Калькулятор в режиме arcsin с аргументом 0,5 даст тот же угол; например, \(\arctan 1 = 45^\circ\), \(\arccos 0{,}5 = 60^\circ\).
Главное
- Аркфункции возвращают угол, а не число-отношение.
- Область значений ограничена: арксинус и арктангенс — от \(-90^\circ\) до \(90^\circ\), арккосинус и арккотангенс — от \(0^\circ\) до \(180^\circ\).
- Арксинус и арккосинус определены только на отрезке \([-1; 1]\).