Теория
Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора на любой треугольник: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\), где \(\gamma\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\), а \(c\) — противолежащая ему сторона. При прямом угле косинус обнуляется, и формула превращается в \(c^2 = a^2 + b^2\).
Теорема решает два типа задач: по двум сторонам и углу между ними находят третью сторону, а по трём сторонам — любой из углов: \(\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Она незаменима, когда известны три стороны: теорема синусов тут бессильна.
Важно: косинус тупого угла отрицателен, поэтому сторона против тупого угла оказывается длиннее, чем по теореме Пифагора, — минус в формуле не случайность.
Пример с решением
- Условие. Стороны \(a = 3\), \(b = 4\), угол между ними \(\gamma = 60^\circ\). Найдите сторону \(c\).
- Формула. \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\).
- Подстановка. \(c^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos 60^\circ = 9 + 16 - 24 \times 0{,}5\).
- Вычисление. \(c^2 = 25 - 12 = 13\), \(c = \sqrt{13} \approx 3{,}61\).
- Ответ. Сторона \(c \approx 3{,}61\). Калькулятор в режиме «Найти сторону» даст то же значение; в режиме «Найти угол» по трём сторонам 3, 4 и 3,61 он вернёт угол около \(60^\circ\).
Главное
- Формула: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\).
- По двум сторонам и углу находят сторону, по трём сторонам — угол.
- При \(\gamma = 90^\circ\) теорема косинусов совпадает с теоремой Пифагора.