Теория
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\), где \(R\) — радиус описанной окружности. Все три отношения равны одному и тому же числу, поэтому любые два из них можно приравнять.
Теорема работает в двух направлениях: по двум углам и стороне находят другую сторону, а по двум сторонам и углу — другой угол. Единственная тонкость — при поиске угла по синусу ответов может быть два (\(\alpha\) и \(180^\circ - \alpha\)): нужно выбирать тот, при котором сумма углов треугольника не превысит \(180^\circ\).
Важно: сторона и угол в каждом отношении должны быть противолежащими — синус угла A делится именно на сторону a.
Пример с решением
- Условие. В треугольнике \(b = 10\), \(A = 30^\circ\), \(B = 45^\circ\). Найдите сторону \(a\).
- Формула. \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\), откуда \(a = b \times \frac{\sin A}{\sin B}\).
- Подстановка. \(a = 10 \times \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = 10 \times \frac{0{,}5}{0{,}7071}\).
- Вычисление. \(\frac{0{,}5}{0{,}7071} \approx 0{,}7071\), \(a \approx 10 \times 0{,}7071 = 7{,}07\).
- Ответ. Сторона \(a \approx 7{,}07\). Калькулятор в режиме «Найти сторону» даст то же значение. Обратная задача — «Найти угол»: \(\sin A = a \times \frac{\sin B}{b}\).
Главное
- Формула: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\).
- По стороне и двум углам находят недостающую сторону, по двум сторонам и углу — недостающий угол.
- При поиске угла проверяйте оба кандидата \(\alpha\) и \(180^\circ - \alpha\) по сумме углов.