Теория
Предел функции в точке \(x_0\) — это число, к которому значения функции приближаются, когда аргумент подходит к \(x_0\) сколь угодно близко. Для дробно-рациональной функции первым делом пробуют прямую подстановку: если знаменатель в точке не равен нулю, предел равен значению дроби — \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}\). Если же и числитель, и знаменатель обращаются в ноль, получается неопределённость \(0/0\): в многочленах это значит, что у них есть общий множитель \((x - x_0)\), и его можно сократить по схеме Горнера, после чего подстановку повторяют.
Если знаменатель в точке равен нулю, а числитель нет, конечного предела нет: дробь уходит в бесконечность. Знак определяется односторонними пределами — отдельно слева и справа. У знаменателя с корнем нечётной кратности знак меняется, поэтому слева и справа получаются разные бесконечности, и двусторонний предел не существует; при чётной кратности знак сохраняется.
На бесконечности дробь ведёт себя как отношение старших членов, поэтому сравнивают степени: если степень числителя меньше — предел равен нулю, если равна — отношению старших коэффициентов, если больше — предел бесконечен. При \(x \to -\infty\) важен знак: нечётная разность степеней меняет знак результата.
Важно: неопределённость \(0/0\) — не ответ и не ошибка, а сигнал к преобразованию: сокращение общего множителя \((x - x_0)\) раскрывает предел.
Пример с решением
- Условие. Вычислить \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\).
- Подстановка. При \(x = 1\): числитель \(1 - 1 = 0\), знаменатель \(1 - 1 = 0\) — неопределённость \(0/0\).
- Разложение. \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\), поэтому общий множитель \((x - 1)\) сокращается: \(\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1\).
- Повторная подстановка. \(\lim\limits_{x \to 1}(x + 1) = 2\).
- Ответ. Предел равен 2. Калькулятор в режиме «x → x₀» с числителем 1 0 −1, знаменателем 1 −1 и точкой 1 выдаёт то же значение, а в шагах показывает сокращение множителя \((x - 1)\).
- Проверка на бесконечности. Для той же дроби \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\): степень числителя 2 больше степени знаменателя 1, значит предел бесконечен — \(+\infty\).
Главное
- Подстановка — первый шаг: при \(Q(x_0) \neq 0\) предел равен \(P(x_0)/Q(x_0)\).
- Неопределённость \(0/0\) раскрывается сокращением общего множителя \((x - x_0)\).
- Знаменатель ноль, числитель нет — конечного предела нет; знак дают односторонние пределы и кратность корня.
- На бесконечности сравнивают степени: меньше — 0, равны — отношение старших коэффициентов, больше — \(\pm\infty\).