Теория
Система из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными описывает три плоскости в пространстве. Решение — тройка чисел \((x, y, z)\), при которой все три уравнения выполняются одновременно, то есть общая точка трёх плоскостей.
Решают такие системы сведением: из одной пары уравнений исключают одну неизвестную, из другой пары — ту же, и получают систему 2×2. После нахождения части неизвестных их подставляют обратно и досчитывают остальные.
Важно: после любого способа решения проверяйте ответ подстановкой во все три уравнения — арифметическая ошибка обнаружится сразу.
Пример с решением
- Условие. Решить систему \(x + y + z = 6\), \(x - y + z = 2\), \(x + y - z = 0\).
- Формула. Исключим неизвестные: сложим первое уравнение с третьим, а затем с вторым.
- Подстановка. \((x+y+z)+(x+y-z) = 6+0\) даёт \(x + y = 3\); \((x+y+z)+(x-y+z) = 6+2\) даёт \(x + z = 4\).
- Вычисление. Из \(x + y = 3\) и первого уравнения получаем \(z = 3\); тогда \(x = 1\), \(y = 2\).
- Ответ. Решение \((1; 2; 3)\). Калькулятор с полями a₁…d₃, заполненными по уравнениям, выдаст ту же тройку.
Главное
- Система 3×3 — три плоскости, решение — их общая точка.
- Метод — последовательное исключение неизвестных до системы 2×2.
- Проверка — подстановка во все три уравнения.