Модуль: уравнения и неравенства

Теория

Модуль числа — это расстояние от точки на числовой прямой до нуля, поэтому \(|t| \geq 0\) для любого \(t\), а \(|t| = t\) при \(t \geq 0\) и \(|t| = -t\) при \(t \lt 0\). Уравнение \(|ax + b| = c\) при \(c \geq 0\) распадается на две ветви: \(ax + b = c\) и \(ax + b = -c\); корни каждой ветви проверяют по условию, при котором она раскрывалась, а затем — подстановкой в исходное уравнение. При \(c \lt 0\) решений нет: расстояние не бывает отрицательным.

Неравенства раскрываются иначе. Строгое «меньше» даёт двойное неравенство: \(|t| \lt c\) равносильно \(-c \lt t \lt c\), то есть интервалу. Строгое «больше» даёт совокупность: \(|t| \gt c\) равносильно \(t \lt -c\) или \(t \gt c\), то есть двум лучам. При \(c = 0\) неравенство «меньше» не выполняется никогда, а «больше» верно для всех чисел, кроме точки, где подмодульное выражение обращается в ноль.

Важно: при делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный — из-за этого при \(a \lt 0\) меняется порядок границ, хотя сам ответ остаётся тем же множеством.

Пример с решением

1. Условие. Решить уравнение \(|2x - 4| = 6\) и неравенства \(|2x - 4| \lt 6\) и \(|2x - 4| \gt 6\).
2. Раскрытие модуля. Если \(2x - 4 \geq 0\), то \(2x - 4 = 6\); если \(2x - 4 \lt 0\), то \(-(2x - 4) = 6\).
3. Первая ветвь. \(2x - 4 = 6 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\). Проверка условия: \(2 \times 5 - 4 = 6 \geq 0\) — корень подходит.
4. Вторая ветвь. \(2x - 4 = -6 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\). Проверка условия: \(2 \times (-1) - 4 = -6 \lt 0\) — корень подходит.
5. Ответ уравнения. \(x = -1\) или \(x = 5\); подстановка даёт \(|2 \times (-1) - 4| = 6\) и \(|2 \times 5 - 4| = 6\).
6. Неравенство «меньше». \(-6 \lt 2x - 4 \lt 6 \Rightarrow -2 \lt 2x \lt 10 \Rightarrow -1 \lt x \lt 5\), то есть \(x \in (-1;, 5)\).
7. Неравенство «больше». \(2x - 4 \lt -6\) или \(2x - 4 \gt 6 \Rightarrow x \lt -1\) или \(x \gt 5\).
8. Ответ. Уравнение: \(x = -1\) или \(x = 5\); неравенства дают \(x \in (-1;, 5)\) и \(x \lt -1\) или \(x \gt 5\). Калькулятор с полями a = 2, b = −4, c = 6 выдаёт ровно эти ответы и показывает обе ветви раскрытия модуля.

Главное

• Определение: \(|t| = t\) при \(t \geq 0\) и \(|t| = -t\) при \(t \lt 0\); \(|t| \geq 0\) всегда.
• Уравнение: \(|ax + b| = c\) при \(c \geq 0\) — две ветви \(ax + b = \pm c\); при \(c \lt 0\) решений нет.
• Неравенства: \(|t| \lt c\) — интервал \((-c;, c)\), \(|t| \gt c\) — два луча; при \(c \leq 0\) ответы вырождаются.
• Знак a: деление на отрицательное число меняет знак неравенства, но множество решений остаётся тем же.