Теория
Треугольник Паскаля — таблица биномиальных коэффициентов \(C_n^k\), то есть количеств способов выбрать \(k\) предметов из \(n\). По краям каждой строки стоят единицы, а каждое внутреннее число равно сумме двух стоящих над ним: \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\).
Строки треугольника — это коэффициенты разложения бинома: \((a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\), числа 1, 4, 6, 4, 1 — четвёртая строка. Тот же треугольник считает суммы «путей» в комбинаторных задачах и числа сочетаний.
Важно: нумерация строк начинается с нуля — верхняя единица отвечает \(n = 0\).
Пример с решением
- Условие. Выпишите четвёртую строку треугольника Паскаля.
- Формула. \(C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\) с единицами по краям.
- Подстановка. Строки выше: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1.
- Вычисление. Четвёртая: 1, \(1+3=4\), \(3+3=6\), \(3+1=4\), 1.
- Ответ. Строка: 1, 4, 6, 4, 1 — коэффициенты \((a+b)^4\). Калькулятор с полем n = 4 покажет ту же строку.
Главное
- Каждое число — сумма двух над ним; по краям единицы.
- Строка n — коэффициенты разложения \((a+b)^n\).
- Сумма строки n равна \(2^n\).