Теория
Маятник — это тело, которое колеблется около положения равновесия. В школьных задачах встречаются два вида. Пружинный маятник — груз на пружине: чем больше масса и чем мягче пружина, тем медленнее колебания, \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\). Нитяной (математический) маятник — маленький груз на длинной нерастяжимой нити: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\), где \(l\) — длина подвеса, а \(g\) — ускорение свободного падения.
Период \(T\) — время одного полного колебания, измеряется в секундах. Частота \(\nu = 1/T\) показывает, сколько колебаний происходит за секунду (герцы), а циклическая частота \(\omega = 2\pi\nu\) — на какой угол в радианах маятник «поворачивает» за секунду.
Самое неожиданное в этих формулах: период не зависит от амплитуды (при малых отклонениях) и не зависит от массы груза у нитяного маятника — тяжёлый и лёгкий грузы на одной нити колеблются одинаково. Зато от \(g\) период зависит: на Луне, где \(g = 1{,}62\) м/с², тот же маятник качается примерно в 2,5 раза медленнее, чем на Земле.
Важно: формулы верны для малых углов отклонения — примерно до 10–15°. При больших углах колебания перестают быть гармоническими, и период немного увеличивается.
Пример с решением
- Условие. Груз массой \(1\) кг подвешен на пружине жёсткостью \(100\) Н/м. Найдите период и частоту колебаний.
- Формула. \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\).
- Подстановка. \(T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{100}} = 2\pi \times 0{,}1\).
- Вычисление. \(T \approx 0{,}628\) с, частота \(\nu = 1/T \approx 1{,}59\) Гц, циклическая частота \(\omega = \sqrt{k/m} = 10\) рад/с.
- Ответ. Период \(0{,}628\) с, частота \(1{,}59\) Гц; за минуту груз совершит около 95 колебаний. В калькуляторе это режим «Пружинный» с полями \(m = 1\) и \(k = 100\).
Главное
- Пружинный маятник: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) — важны масса и жёсткость.
- Нитяной маятник: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) — масса груза не влияет.
- Связь величин: \(\nu = 1/T\), \(\omega = 2\pi\nu\).
- Малые углы: формулы работают при отклонениях примерно до 15°.