Совершенные числа

Теория

Совершенное число равно сумме всех своих собственных делителей, то есть делителей, меньших самого числа. Первые совершенные числа: 6 (\(1 + 2 + 3 = 6\)) и 28 (\(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28\)). Дальше они встречаются всё реже: следующее — 496, потом 8128.

Евклид нашёл рецепт: если \(2^p - 1\) — простое число (число Мерсенна), то \(2^{p-1}(2^p - 1)\) — совершенное. Все чётные совершенные числа имеют такой вид; нечётных совершенных не найдено до сих пор, и вопрос об их существовании открыт.

Важно: сумма собственных делителей меньше числа — оно «недостаточное», больше — «избыточное»; совершенные — точное равенство.

Пример с решением

1. Условие. Проверьте, совершенно ли число 28.
2. Формула. Сумма собственных делителей: \(S = \sum d\), где \(d\) — делители, меньшие \(n\).
3. Подстановка. Делители 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28; собственные — 1, 2, 4, 7, 14.
4. Вычисление. \(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28\) — совпадает с самим числом.
5. Ответ. 28 — совершенное число. Калькулятор в режиме «Проверить» подтвердит это, а режим «Найти» до 30 перечислит 6 и 28.

Главное

• Совершенное число равно сумме собственных делителей.
• Первые совершенные: 6, 28, 496, 8128.
• Формула Евклида: \(2^{p-1}(2^p - 1)\) при простом \(2^p - 1\).