Теория
Деление многочленов — действие, обратное умножению. Если \(P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)\), то \(Q(x)\) — частное, а \(R(x)\) — остаток, степень которого меньше степени делителя \(D(x)\). Деление уголком повторяет школьный алгоритм для чисел: старший член делимого делим на старший член делителя, умножаем делитель на найденный одночлен, вычитаем результат и снова возвращаемся к началу, пока степень остатка не станет меньше.
Для делителя вида \(x - r\) есть короткий путь — схема Горнера. Коэффициенты делимого выписывают в строку, первое число переносят вниз, затем умножают его на \(r\) и прибавляют следующий коэффициент. Последнее число нижней строки — остаток, остальные — коэффициенты частного. Степень частного всегда на единицу меньше степени делимого.
Важно: по теореме Безу остаток от деления на \(x - r\) равен значению многочлена в точке \(r\): \(P(r) = R\). Поэтому «остаток равен нулю» и «\(r\) — корень многочлена» — одно и то же утверждение.
Пример с решением
- Условие. Разделить \(x^2 - 5x + 6\) на \(x - 2\).
- Схема. Делитель имеет вид \(x - r\), значит \(r = 2\), и можно применить схему Горнера.
- Перенос. Коэффициенты делимого: \(1, -5, 6\). Первый коэффициент переносим без изменений: \(1\).
- Вычисление. \(1 \times 2 + (-5) = -3\), затем \(-3 \times 2 + 6 = 0\) — это остаток.
- Ответ. Частное \(x - 3\), остаток \(0\): многочлен делится нацело, а \(x = 2\) — его корень. Калькулятор с делимым «1 -5 6» и \(r = 2\) покажет ту же таблицу переноса.
Главное
- Формула деления — \(P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)\), степень остатка меньше степени делителя.
- Уголком делят на любой многочлен, а схема Горнера работает только с делителем \(x - r\).
- Теорема Безу — остаток от деления на \(x - r\) равен значению \(P(r)\).
- Признак делимости — остаток \(0\) означает, что \(x - r\) — множитель многочлена.