Теория
Формулы сокращённого умножения позволяют раскрывать скобки без почленного перемножения: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) и \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Каждая формула экономит время и главное — уменьшает число мест, где можно потерять знак.
Когда слагаемых в скобке три или множителей больше двух, формулы уже не подскажут ответ, и работает общее правило: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго, а затем приводим подобные слагаемые. Коэффициенты удобно записывать списком от старшей степени к младшей: «1 3» — это \(x + 3\), «1 0 -4» — это \(x^2 - 4\), а «2 -3» — это \(2x - 3\).
Важно: результат всегда можно проверить подстановкой \(x = 1\): значение исходного произведения и значение раскрытого многочлена обязаны совпасть — так мгновенно находится потерянный знак.
Пример с решением
- Условие. Раскрыть скобки: \((2x + 3)^2\).
- Формула. Квадрат суммы: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), здесь \(a = 2x\), \(b = 3\).
- Подстановка. \((2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2\).
- Вычисление. \(4x^2 + 12x + 9\).
- Ответ. Калькулятор в режиме «квадрат» с коэффициентами «2 3» выдаст \(4x^2 + 12x + 9\). Проверка при \(x = 1\): \((2 + 3)^2 = 25\) и \(4 + 12 + 9 = 25\) — совпало.
Главное
- Квадрат двучлена — \(a^2 \pm 2ab + b^2\), знак среднего слагаемого совпадает со знаком \(b\).
- Куб двучлена — \(a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\).
- Разность квадратов — \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
- Общий случай — каждый член с каждым, потом подобные слагаемые.