Теория
Степень \(a^n\) — это короткая запись произведения \(n\) одинаковых множителей \(a\). Число \(a\) называют основанием, \(n\) — показателем. Так, \(2^{10}\) означает десять двоек, перемноженных между собой.
У степеней два главных свойства. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при возведении степени в степень — перемножаются. Договорённости о «странных» показателях естественны: \(a^0 = 1\), а отрицательный показатель означает дробь с перевёрнутым основанием.
Важно: степень с дробным показателем — это корень: \(a^{1/2}\) — то же самое, что квадратный корень из \(a\).
Пример с решением
- Условие. Вычислить \(2^{10}\) — во сколько раз вырастет число после 10 удвоений.
- Формула. Произведение десяти двоек: \(2^{10} = 2 \times 2 \times \ldots \times 2\).
- Подстановка. Разобьём на пары: \(2^{10} = 2^5 \times 2^5\) — по свойству сложения показателей.
- Вычисление. \(2^5 = 32\), поэтому \(32 \times 32 = 1024\).
- Ответ. \(2^{10} = 1024\). Калькулятор с полями «Основание» = 2 и «Показатель» = 10 даст тот же результат.
Главное
- Степень — сокращённая запись произведения одинаковых множителей.
- При умножении степеней с одним основанием показатели складываются.
- Нулевой показатель даёт единицу, отрицательный — обратную величину.