Теория
Основная теорема арифметики утверждает: любое натуральное число больше единицы единственным образом раскладывается в произведение простых множителей — с точностью до их порядка. Например, \(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\), и никакое другое разложение невозможно.
На практике число последовательно делят на простые делители, начиная с двойки: пока делится на 2 — делим, затем переходим к 3, 5, 7 и так далее. Делители можно пробовать только до \(\sqrt{n}\): если к этому моменту остаток больше единицы, он сам — простое число. Одинаковые множители записывают степенями.
Важно: разложение на множители — единственное, а вот способов его найти много; для больших чисел разложение остаётся трудной вычислительной задачей.
Пример с решением
- Условие. Разложите число 84 на простые множители.
- Формула. Последовательное деление на простые \(p \le \sqrt{n}\).
- Подстановка. \(84 \div 2 = 42\), \(42 \div 2 = 21\) — дальше на 2 не делится.
- Вычисление. \(21 \div 3 = 7\); 7 — простое. Итого \(84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7\).
- Ответ. \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\). Калькулятор с полем 84 покажет то же разложение.
Главное
- Основная теорема арифметики: разложение на простые единственно.
- Делим последовательно на 2, 3, 5, 7, … до \(\sqrt{n}\).
- Остаток больше единицы после всех делений — простое число.