Теория
Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a\) не равно нулю. В отличие от линейного уравнения, оно может иметь два корня, один корень или не иметь действительных корней вовсе — ответ зависит от знака дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).
Если \(D > 0\), корней два; если \(D = 0\) — один (вершина параболы касается оси); если \(D < 0\), действительных корней нет — парабола не пересекает ось, а уравнение имеет пару комплексных корней. Квадратному уравнению соответствует парабола, и корни — это точки её пересечения с осью абсцисс.
Важно: знак дискриминанта отвечает на главный вопрос задачи: сколько у уравнения действительных корней.
Пример с решением
- Условие. Решить уравнение \(2x^2 - 5x + 2 = 0\).
- Формула. Сначала дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\).
- Подстановка. \(D = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 25 - 16 = 9\).
- Вычисление. \(D = 9 > 0\) — корней два: \(x = \frac{5 \pm 3}{4}\), то есть \(x_1 = 2\), \(x_2 = 0{,}5\).
- Ответ. Калькулятор с полями «Коэффициент a» = 2, «Коэффициент b» = −5, «Коэффициент c» = 2 выдаст те же корни и дискриминант.
Главное
- Квадратное уравнение — \(ax^2 + bx + c = 0\) при \(a \neq 0\).
- Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) определяет число корней: два, один или ни одного.
- Корни — точки пересечения параболы с осью абсцисс.