Теория
Радиоактивный распад — случайное событие для каждого отдельного ядра, но для большого их числа работает строгий закон: за одинаковые промежутки времени распадается одна и та же доля ядер. Главная характеристика вещества — период полураспада \(T\): время, за которое распадается половина имеющихся ядер. Отсюда закон распада: \(N = N_0 \cdot 2^{-t/T}\), где \(N_0\) — начальное количество ядер, \(t\) — время наблюдения.
Из формулы видно, что количество ядер уменьшается вдвое каждый период: через \(T\) остаётся \(1/2\), через \(2T\) — \(1/4\), через \(3T\) — \(1/8\). Через десять периодов остаётся меньше 0,1 % исходных ядер, поэтому сильно радиоактивные изотопы «исчезают» на глаз за считаные периоды.
Если нужно найти время, формулу обращают: \(t = T \cdot \log_2\frac{N_0}{N}\). Единицы измерения количества (ядра, моли, граммы, беккерели) и времени (секунды, сутки, годы) могут быть любыми — важно лишь, чтобы \(t\) и \(T\) были в одних единицах.
Важно: закон описывает среднее поведение большого числа ядер. Для двух-трёх ядер предсказать момент распада нельзя — это принципиально случайный процесс.
Пример с решением
- Условие. Период полураспада изотопа 5 суток. Сколько из 1000 ядер останется через 10 суток? Через сколько суток останется 100 ядер?
- Число периодов. \(t/T = 10 : 5 = 2\).
- Формула. \(N = N_0 \cdot 2^{-t/T}\).
- Подстановка. \(N = 1000 \cdot 2^{-2} = 1000/4\).
- Вычисление. \(N = 250\) ядер, то есть 25 %; распалось \(750\) ядер.
- Обратная задача. \(t = T \cdot \log_2(1000/100) = 5 \cdot \log_2 10 \approx 5 \cdot 3{,}32 \approx 16{,}6\) суток.
- Ответ. 250 ядер; около 16,6 суток. В калькуляторе это режимы «Остаток через время t» (1000, 5, 10) и «Время до заданного остатка» (1000, 5, 100).
Главное
- Закон распада: \(N = N_0 \cdot 2^{-t/T}\); каждый период полураспада делит количество ядер пополам.
- Обратная формула: \(t = T \cdot \log_2\frac{N_0}{N}\).
- Ориентиры: после 3 периодов остаётся 12,5 %, после 10 — меньше 0,1 %.
- Единицы: \(t\) и \(T\) обязательно в одних и тех же единицах времени.