Теория
Площадь треугольника можно найти, зная две стороны и угол между ними: \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\), где \(a\) и \(b\) — стороны, а \(\gamma\) — угол между ними. Формула выводится из классической «половина основания на высоту»: высота, опущенная на сторону \(a\), равна \(b\sin\gamma\).
Эта формула особенно удобна, когда известны именно две стороны и угол, а высоту считать не хочется. Она же объясняет, почему площадь максимальна у прямоугольного треугольника при фиксированных катетах: синус достигает единицы при \(90^\circ\).
Важно: угол должен быть заключён строго между двумя данными сторонами — если взять угол между другими сторонами, формула даст неверный результат.
Пример с решением
- Условие. Стороны треугольника 8 см и 5 см, угол между ними \(30^\circ\). Найдите площадь.
- Формула. \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\).
- Подстановка. \(a = 8\), \(b = 5\), \(\gamma = 30^\circ\): \(S = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 30^\circ\).
- Вычисление. \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), поэтому \(S = 0{,}5 \times 8 \times 5 \times 0{,}5 = 10\).
- Ответ. Площадь равна 10 см². Калькулятор с полями 8, 5 и углом 30° даст тот же результат; при угле \(90^\circ\) формула сводится к \(S = \frac{1}{2}ab\).
Главное
- Формула: \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\) — две стороны и угол между ними.
- Синус тупого угла положителен, поэтому формула работает и для тупоугольных треугольников.
- Максимум площади при данных сторонах достигается при угле \(90^\circ\).