Теория
Тригонометрические функции связывают углы прямоугольного треугольника с отношениями его сторон. Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс и котангенс — отношения самих катетов: \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\).
В школьной тригонометрии углы измеряют в градусах, в высшей математике — в радианах: полный оборот \(360^\circ\) равен \(2\pi\) радиан. Значения функций для «табличных» углов \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) полезно помнить наизусть — они выводятся из равностороннего треугольника и квадрата.
Важно: знак функции зависит от четверти, в которую попадает угол, — например, синус отрицателен в третьей и четвёртой четвертях.
Пример с решением
- Условие. Найдите \(\sin 30^\circ\).
- Формула. Синус угла: \(\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\).
- Подстановка. В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) катет, лежащий против этого угла, вдвое короче гипотенузы: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).
- Вычисление. \(\frac{1}{2} = 0{,}5\).
- Ответ. \(\sin 30^\circ = 0{,}5\). Калькулятор в режиме «Синус» с углом 30 градусов даст тот же результат; например, \(\operatorname{tg} 45^\circ = 1\), а \(\cos 60^\circ = 0{,}5\).
Главное
- Синус и косинус — отношения катетов к гипотенузе, всегда в пределах от −1 до 1.
- Тангенс не определён там, где косинус равен нулю: при \(90^\circ\), \(270^\circ\) и т. д.
- Табличные углы \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) стоит помнить наизусть.