Теория
Комплексное число \(z = a + bi\) изображается точкой на плоскости, поэтому его можно задать не только координатами \((a, b)\), но и полярно — расстоянием до начала координат и углом. Так возникает тригонометрическая форма: \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\), где \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) — модуль числа, а \(\varphi\) — аргумент, угол между положительной полуосью и направлением на точку.
Аргумент находят из соотношений \(\cos\varphi = \frac{a}{r}\), \(\sin\varphi = \frac{b}{r}\), то есть \(\varphi = \operatorname{arctg}\frac{b}{a}\) с поправкой на четверть. Тригонометрическая форма упрощает умножение, деление и возведение в степень: при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.
Важно: аргумент определён с точностью до \(360^\circ\) — одно и то же число можно записать с аргументами \(45^\circ\), \(405^\circ\) или \(-315^\circ\).
Пример с решением
- Условие. Запишите число \(z = 1 + i\) в тригонометрической форме.
- Формула. \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\cos\varphi = \frac{a}{r}\).
- Подстановка. \(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\); \(\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
- Вычисление. Оба отношения равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) — это табличные значения угла \(45^\circ\).
- Ответ. \(z = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)\). Калькулятор с полями \(a = 1\), \(b = 1\) покажет модуль \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) и аргумент \(45^\circ\).
Главное
- Тригонометрическая форма: \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\), \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\).
- Аргумент — угол точки на плоскости, считается по косинусу и синусу с поправкой на четверть.
- Умножение чисел сводится к перемножению модулей и сложению аргументов.