Формулы приведения и преобразования

Теория

Формулы приведения отвечают на вопрос «как выразить функцию от угла \(90^\circ \pm \alpha\), \(180^\circ \pm \alpha\), \(270^\circ \pm \alpha\), \(360^\circ - \alpha\) через функцию от \(\alpha\)». Работает простое правило: если угол отсчитывают от вертикального диаметра (\(90^\circ\) или \(270^\circ\)), функция меняется на кофункцию — синус на косинус, тангенс на котангенс; если от горизонтального (\(180^\circ\) или \(360^\circ\)), функция сохраняется. Знак берут такой, какой имеет исходная функция в четверти, где лежит угол.

Двойной и половинный угол — это следствия формул сложения. Из \(\sin(\alpha + \beta)\) при \(\beta = \alpha\) получается \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), а \(\cos 2\alpha\) удобно записывать в трёх равносильных формах: \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), \(1 - 2\sin^2\alpha\) и \(2\cos^2\alpha - 1\) — какую выбрать, подсказывает условие задачи. Для половинного угла те же формулы «разворачивают» обратно: \(\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}\), \(\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}\), а знак определяет четверть.

Важно: корень в формулах половинного угла даёт только модуль, а знак выбирается по четверти — именно на этом теряют решения и приписывают лишние.

Пример с решением

1. Условие. Дано \(\alpha = 30^\circ\). Найти \(\sin(90^\circ + \alpha)\), \(\cos(90^\circ + \alpha)\), \(\sin 2\alpha\) и \(\cos 2\alpha\).
2. Правило. Угол отсчитывают от \(90^\circ\), значит функция меняется на кофункцию: \(\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha\), \(\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha\).
3. Знак. Угол \(90^\circ + 30^\circ = 120^\circ\) лежит во второй четверти, синус там положителен, а косинус отрицателен — минус в формуле для косинуса обязателен.
4. Подстановка. \(\sin(90^\circ + \alpha) = \cos 30^\circ = 0{,}8660\), \(\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin 30^\circ = -0{,}5000\).
5. Двойной угол. \(\sin 2\alpha = 2\sin 30^\circ\cos 30^\circ = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}8660 = 0{,}8660\), \(\cos 2\alpha = \cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ = 0{,}7500 - 0{,}2500 = 0{,}5000\).
6. Ответ. Значения совпадают с прямым вычислением \(\sin 120^\circ\), \(\cos 120^\circ\), \(\sin 60^\circ\) и \(\cos 60^\circ\) — калькулятор выдаёт те же числа.

Главное

• Смена функции происходит только у углов \(90^\circ \pm \alpha\) и \(270^\circ \pm \alpha\).
• Знак приведённой функции берут по четверти исходного угла.
• Двойной угол: \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos 2\alpha\) — три равносильные формы.
• Половинный угол: корень даёт модуль, знак выбирается по четверти.