Теория
Тригонометрические функции определяют по единичной окружности: углу α соответствует точка, и её координаты — это \(\cos\alpha\) и \(\sin\alpha\). Отсюда сразу видны знаки: в первой четверти (0°–90°) обе функции положительны, во второй положителен только синус, в третьей — тангенс и котангенс, в четвёртой — косинус.
Для табличных углов 30°, 45° и 60° значения выражаются точно через корни: \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Остальные значения таблицы получаются симметрией: например, \(\sin 150° = \sin 30°\), а \(\cos 150° = -\cos 30°\).
Тангенс и котангенс — отношения: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Там, где знаменатель обращается в нуль, функция не определена: tg 90° и 270°, ctg 0°, 180° и 360° — в таблице на этих местах прочерк.
Важно: функции периодичны: \(\sin(\alpha + 360°) = \sin\alpha\), а tg и ctg повторяются уже через 180°.
Пример с решением
- Условие. Найти \(\sin 210°\), \(\cos 210°\) и \(\operatorname{tg} 210°\) по таблице.
- Приведение. \(210° = 180° + 30°\) — третья четверть.
- Знаки. В третьей четверти sin и cos отрицательны, tg положителен.
- Значения. \(\sin 210° = -\sin 30° = -0{,}5\); \(\cos 210° = -\cos 30° \approx -0{,}8660\); \(\operatorname{tg} 210° = \operatorname{tg} 30° \approx 0{,}5774\).
- Ответ. Сверьте строку 210° в числовой таблице — значения совпадают.
Главное
- Точные значения — для 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и симметричных углов; остальные — из числовой таблицы с нужным шагом.
- Знак определяется четвертью; период sin и cos — 360°, tg и ctg — 180°.
- Прочерк в таблице — функция в этом угле не определена.