Задачи на совместную работу

Теория

Главный приём задач на совместную работу — «примем всю работу за 1». Если исполнитель выполняет всю работу за \(t\) часов, то за один час он делает \(\frac{1}{t}\) её часть: это его производительность. Работая вместе, исполнители складывают производительности, а не времена: \(P = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\). Время совместной работы — величина, обратная совместной производительности.

Для двух исполнителей формула упрощается до \(t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1t_2}{t_1 + t_2}\), а для трёх — до \(t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3}}\). Время вдвоём всегда меньше самого маленького из времён по отдельности: помощник не может замедлить работу.

Когда работа измеряется в конкретных единицах — деталях, страницах, литрах, — доли заменяются числами: производительность равна объёму, делённому на время. Смысл остаётся тем же: производительности складываются, а время на весь объём равно \(t = \frac{V}{P_1 + P_2}\).

Важно: времена складывать нельзя — складываются именно доли работы за единицу времени. Проверка ответа проста: перемножьте найденное время на производительность каждого, и в сумме должно получиться ровно 1 (или весь объём).

Пример с решением

1. Условие. Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 12 часов. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе?
2. Формула. Примем всю работу за 1: \(t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}}\).
3. Подстановка. За час первый делает \(\frac{1}{6}\), второй — \(\frac{1}{12}\); вместе \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).
4. Вычисление. Если за час делается четверть работы, на всю работу нужно \(t = \frac{1}{1/4} = 4\) часа.
5. Ответ. Вдвоём рабочие выполнят заказ за 4 часа. Проверка: \(\frac{1}{6} \times 4 + \frac{1}{12} \times 4 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\) — вся работа. Калькулятор в режиме «Двое рабочих» с временами 6 и 12 даст тот же ответ.

Главное

• Вся работа равна 1, а доля за единицу времени — \(\frac{1}{t}\).
• Производительности складываются: \(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\), а не времена.
• Двое вместе: \(t = \frac{t_1t_2}{t_1 + t_2}\); втроём: \(t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3}}\).
• Проверка: время, умноженное на производительность каждого, в сумме даёт всю работу.