Теория
Пусть событие \(A\) может произойти в нескольких несовместимых случаях — гипотезах \(H_1, H_2, \ldots, H_n\), вероятности которых в сумме дают единицу. Тогда вероятность события считают по формуле полной вероятности: \(P(A) = \sum_i P(H_i) \cdot P(A|H_i)\). Смысл прост: событие происходит «через» одну из гипотез, поэтому складываются вклады всех гипотез.
Формула Байеса решает обратную задачу: событие уже произошло, и нужно понять, какая гипотеза за ним стоит. Она пересчитывает априорную (доопытную) вероятность гипотезы в апостериорную (послеопытную): \(P(H_k|A) = \frac{P(H_k) \cdot P(A|H_k)}{P(A)}\). В знаменателе — полная вероятность события, в числителе — вклад выбранной гипотезы.
Классический пример — медицинский тест. Болезнь встречается у 5 % людей, тест обнаруживает её у 90 % больных и ошибочно «находит» у 10 % здоровых. Полная вероятность положительного результата: \(0{,}05 \cdot 0{,}9 + 0{,}95 \cdot 0{,}1 = 0{,}14\). Тогда после положительного теста вероятность болезни равна \(0{,}045/0{,}14 \approx 0{,}32\) — всего треть! Причина в том, что здоровых людей намного больше, и их ложные результаты перевешивают.
Важно: сумма апостериорных вероятностей всех гипотез тоже равна единице. Если она не сходится, где-то потеряна гипотеза или неверно посчитана полная вероятность.
Пример с решением
- Условие. Гипотезы: «болезнь есть» с вероятностью 0,05 и «болезни нет» с 0,95. Тест положителен у 90 % больных и у 10 % здоровых. Найдите вероятность положительного результата и вероятность болезни при положительном тесте.
- Формула полной вероятности. \(P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2)\).
- Подстановка. \(P(A) = 0{,}05 \cdot 0{,}9 + 0{,}95 \cdot 0{,}1 = 0{,}045 + 0{,}095\).
- Вычисление. \(P(A) = 0{,}14\).
- Формула Байеса. \(P(H_1|A) = \frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)} = \frac{0{,}045}{0{,}14}\).
- Ответ. \(P(H_1|A) \approx 0{,}321\), то есть около 32 %: положительный тест повышает вероятность болезни с 5 % до 32 %, но не делает её равной 90 %.
- Проверка. Для второй гипотезы \(P(H_2|A) = 0{,}095/0{,}14 \approx 0{,}679\), а \(0{,}321 + 0{,}679 = 1\).
Главное
- Полная вероятность: \(P(A) = \sum_i P(H_i) P(A|H_i)\), гипотезы образуют полную группу.
- Формула Байеса: \(P(H_k|A) = \frac{P(H_k)P(A|H_k)}{P(A)}\).
- Числитель — вклад гипотезы, знаменатель — полная вероятность события.
- Проверка: сумма апостериорных вероятностей всех гипотез равна 1.