Бета-распределение

Теория

Бета-распределение описывает величину, принимающую значения от 0 до 1: долю успехов, вероятность, процент. Два параметра формы \(\alpha\) и \(\beta\) задают вид кривой: при \(\alpha = \beta = 1\) получается равномерное распределение, при равных больших значениях — колокол в центре, при разных — перекос к краю.

Плотность: \(f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}\), где \(B\) — бета-функция. Функция распределения — регуляризованная неполная бета-функция \(I_x(\alpha, \beta)\). Бета-распределение часто используют как априорное распределение в байесовской статистике.

Важно: аргумент \(x\) лежит строго между 0 и 1 — вне этого отрезка плотность равна нулю.

Пример с решением

Метод: Плотность f(x)

1. Условие. Найдите плотность бета-распределения с \(\alpha = 2\), \(\beta = 2\) в точке \(x = 0{,}5\).
2. Формула. \(f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}\).
3. Подстановка. \(B(2, 2) = \frac{\Gamma(2)\Gamma(2)}{\Gamma(4)} = \frac{1}{6}\), поэтому \(f(x) = 6x(1-x)\).
4. Вычисление. \(f(0{,}5) = 6 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 1{,}5\).
5. Ответ. \(f(0{,}5) = 1{,}5\). Режим «Плотность» с α = 2, β = 2, x = 0,5 даст то же значение.

Метод: Функция распределения F(x)

1. Условие. Найдите \(P(X \le 0{,}5)\) для бета-распределения с \(\alpha = \beta = 2\).
2. Формула. \(F(x) = I_x(\alpha, \beta)\) — регуляризованная неполная бета-функция.
3. Подстановка. При \(\alpha = \beta\) распределение симметрично относительно \(0{,}5\).
4. Вычисление. В силу симметрии \(F(0{,}5) = 0{,}5\).
5. Ответ. \(P(X \le 0{,}5) = 0{,}5\). Режим «F(x)» даст 0,5.

Метод: Квантиль x(p)

1. Условие. Какой \(x\) превышает 50% значений бета-распределения с \(\alpha = \beta = 2\)?
2. Формула. Квантиль — решение уравнения \(F(x) = p\).
3. Подстановка. \(p = 0{,}5\) — это медиана.
4. Вычисление. По симметрии медиана равна \(0{,}5\).
5. Ответ. \(x = 0{,}5\). Режим «Квантиль» с p = 0,5 даст 0,5.

Главное

• Область значений: отрезок [0; 1] — доли и вероятности.
• Параметры \(\alpha\), \(\beta\) управляют формой; \(\alpha = \beta = 1\) — равномерное.
• Симметрия при равных параметрах: медиана равна 0,5.