Биномиальное распределение

Теория

Биномиальное распределение описывает число успехов в \(n\) независимых испытаниях, в каждом из которых успех случается с одной и той же вероятностью \(p\). Примеры: сколько раз выпадет орёл при десяти бросках монеты, сколько из 100 изделий окажется бракованным.

Вероятность ровно \(k\) успехов: \(P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\), где \(C_n^k\) — число сочетаний. Функция распределения \(P(X \le k)\) суммирует вероятности всех исходов от 0 до \(k\). Среднее равно \(np\), дисперсия — \(np(1-p)\).

Важно: испытания должны быть независимыми и с постоянной вероятностью — если шары вынимают без возвращения, это уже не биномиальное распределение.

Пример с решением

Метод: Вероятность P(X = k)

1. Условие. Монету бросают 5 раз. Какова вероятность ровно двух орлов?
2. Формула. \(P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\).
3. Подстановка. \(n = 5\), \(p = 0{,}5\), \(k = 2\): \(P = C_5^2 \times 0{,}5^2 \times 0{,}5^3\).
4. Вычисление. \(C_5^2 = 10\), поэтому \(P = 10 \times 0{,}5^5 = 10/32 = 0{,}3125\).
5. Ответ. Вероятность двух орлов — 31,25%. Режим «P(X = k)» с n = 5, p = 0,5, k = 2 даст ≈0,313.

Метод: Функция распределения P(X ≤ k)

1. Условие. Какова вероятность не более двух орлов при пяти бросках?
2. Формула. \(P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} C_n^i p^i (1-p)^{n-i}\).
3. Подстановка. \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\).
4. Вычисление. \(\frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = 0{,}5\).
5. Ответ. Вероятность не более двух орлов — 50%. Режим «P(X ≤ k)» даст ≈0,5.

Главное

• Параметры: число испытаний \(n\) и вероятность успеха \(p\).
• Формула: \(P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\).
• Требует независимых испытаний с постоянной вероятностью.