Распределение хи-квадрат

Теория

Распределение хи-квадрат с \(df\) степенями свободы — это распределение суммы квадратов \(df\) независимых стандартных нормальных величин. Оно принимает только положительные значения и скошено вправо, особенно при малых \(df\); с ростом \(df\) форма приближается к нормальной.

Распределение используют в критерии согласия, критерии независимости и при построении доверительных интервалов для дисперсии. Критические значения берут из таблиц: если статистика критерия превышает критическое значение для выбранного \(\alpha\), нулевую гипотезу отвергают.

Важно: хи-квадрат суммируем: сумма независимых величин с \(df_1\) и \(df_2\) степенями свободы имеет распределение с \(df_1 + df_2\).

Пример с решением

Метод: Вероятность P(χ² ≤ x)

1. Условие. Найдите \(P(\chi^2 \le 7{,}815)\) при \(df = 3\).
2. Формула. \(P(\chi^2 \le x)\) — функция распределения хи-квадрат с \(df\) степенями свободы.
3. Подстановка. \(x = 7{,}815\), \(df = 3\) — табличное значение.
4. Вычисление. \(P(\chi^2 \le 7{,}815) \approx 0{,}95\).
5. Ответ. Вероятность около 95%. Режим «Вероятность» с x = 7,815, df = 3 даст ≈0,95.

Метод: Критическое значение χ²

1. Условие. Найдите критическое значение для \(\alpha = 0{,}05\), \(df = 3\).
2. Формула. \(\chi^2_{crit} = F^{-1}(1 - \alpha)\).
3. Подстановка. \(p = 0{,}95\), \(df = 3\).
4. Вычисление. Квантиль уровня 0,95: \(\chi^2_{crit} \approx 7{,}815\).
5. Ответ. Критическое значение ≈7,815. Режим «Критическое значение» даст ≈7,815.

Метод: Таблица критических значений

1. Условие. Найдите в таблице значение для \(\alpha = 0{,}05\), \(df = 3\).
2. Формула. Таблица: строки — \(df\), столбцы — уровни значимости.
3. Подстановка. Строка 3, столбец 0,05.
4. Вычисление. На пересечении стоит 7,815.
5. Ответ. 7,815 — совпадает с режимом «Критическое значение».

Главное

• Сумма квадратов независимых нормальных величин.
• Только положительные значения, скошено вправо.
• Критические значения — из таблиц по \(df\) и \(\alpha\).