Критерий хи-квадрат

Теория

Критерий хи-квадрат проверяет, согласуются ли наблюдения с ожидаемой моделью. Общая идея: считают статистику \(\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}\) — сумму квадратов разностей наблюдаемых \(O\) и ожидаемых \(E\) частот, делённых на ожидаемые. Чем хуже модель объясняет данные, тем больше статистика.

Есть два применения. Таблица сопряжённости 2×2 проверяет связь двух признаков: если связи нет, частоты в ячейках близки к ожидаемым. Критерий согласия сравнивает наблюдаемые частоты с гипотетическим распределением. Вывод делают по p-value: меньше \(\alpha\) — гипотезу отвергают.

Важно: для таблиц 2×2 с малыми частотами применяют поправку Йейтса — она немного уменьшает статистику, делая критерий осторожнее.

Пример с решением

Метод: Таблица сопряжённости 2×2

1. Условие. Таблица: a = 10, b = 5, c = 5, d = 10. Связаны ли признаки?
2. Формула. \(\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}\), ожидаемые считаются по суммам строк и столбцов.
3. Подстановка. Все суммы равны 15, ожидаемое в каждой ячейке \(E = \frac{15 \times 15}{30} = 7{,}5\).
4. Вычисление. \(\chi^2 = 4 \times \frac{(10 - 7{,}5)^2}{7{,}5} = 4 \times 0{,}8333 \approx 3{,}333\), \(df = 1\), \(p \approx 0{,}068\).
5. Ответ. \(\chi^2 \approx 3{,}33\), p ≈ 0,068 — на уровне 0,05 связь не значима. Режим «Таблица сопряжённости» даст те же значения.

Метод: Критерий согласия

1. Условие. Наблюдаемые частоты 50, 30, 20; ожидаемые 40, 40, 20. Согласуются ли данные с моделью?
2. Формула. \(\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\).
3. Подстановка. \(\chi^2 = \frac{(50-40)^2}{40} + \frac{(30-40)^2}{40} + \frac{(20-20)^2}{20}\).
4. Вычисление. \(2{,}5 + 2{,}5 + 0 = 5\), \(df = 2\), \(p \approx 0{,}082\).
5. Ответ. \(\chi^2 = 5\), p ≈ 0,082 — на уровне 0,05 расхождение не значимо. Режим «Критерий согласия» покажет те же значения.

Главное

• Статистика: \(\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}\).
• Таблица 2×2 проверяет связь признаков, согласие — соответствие модели.
• Поправка Йейтса — для таблиц 2×2 с малыми частотами.