Теория
Окружность радиуса \(R\) с центром в точке \((a; b)\) — это все точки, удалённые от центра ровно на \(R\). Расстояние записывают через координаты и получают уравнение окружности: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\). Если раскрыть скобки, получится общее уравнение \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), причём \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = a^2 + b^2 - R^2\). Обратно: центр равен \((-D/2; -E/2)\), а радиус — \(R = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}\). Когда под корнем отрицательное число, окружности не существует: уравнению не удовлетворяет ни одна точка.
Метод координат работает и с фигурами: площадь треугольника по трём вершинам считают через определитель \(S = \frac{|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|}{2}\), а расстояние от точки до прямой \(Ax + By + C = 0\) находят по формуле \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\).
Важно: сравнение расстояния \(d\) от центра до прямой с радиусом полностью решает задачу об их взаимном расположении: \(d\) меньше \(R\) — две общие точки, \(d = R\) — касание, \(d\) больше \(R\) — точек нет.
Пример с решением
- Условие. Центр окружности \((2; -3)\), радиус \(4\). Запишите каноническое и общее уравнение и проверьте точку \((6; -3)\).
- Формула. \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\).
- Подстановка. \((x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2\).
- Вычисление. \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\); раскроем скобки: \(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16\), то есть \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\).
- Ответ. \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\). Проверка: \((6-2)^2 + (-3+3)^2 = 16 + 0 = 16\) — точка лежит на окружности.
Главное
- Каноническое уравнение: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\), где \((a; b)\) — центр.
- По общему уравнению: центр \((-D/2; -E/2)\), радиус \(\sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}\).
- По трём точкам центр — пересечение серединных перпендикуляров; коллинеарные точки окружность не задают.
- Прямая и окружность: взаимное расположение определяется сравнением \(d\) и \(R\).