Теория
Доверительный интервал оценивает неизвестное среднее по выборке: вместо одного числа дают диапазон, в котором среднее находится с заданной вероятностью. Интервал \(\bar{x} \pm z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) накрывает истинное среднее в 95% случаев при доверительной вероятности 95%.
Выбор формулы зависит от того, известна ли дисперсия. Если \(\sigma\) известна, используют квантиль нормального распределения \(z\) (для 95% — 1,96). Если неизвестна, её оценивают по выборке и используют квантиль Стьюдента \(t\) с \(n-1\) степенью свободы — интервал получается шире, ведь в данных больше неопределённости.
Важно: «интервал с вероятностью 95% содержит среднее» относится к методу построения, а не к конкретному вычисленному интервалу — для него среднее либо внутри, либо нет.
Пример с решением
Метод: σ неизвестна (t-интервал)
- Условие. Выборка 2, 4, 6, 8, 10; постройте 95%-й интервал для среднего.
- Формула. \(\bar{x} \pm t_{n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}\).
- Подстановка. \(\bar{x} = 6\), \(s \approx 3{,}162\), \(n = 5\), \(t_4 = 2{,}776\) для 95%.
- Вычисление. Погрешность \(2{,}776 \times \frac{3{,}162}{\sqrt{5}} \approx 3{,}925\), интервал \([2{,}075; 9{,}925]\).
- Ответ. Среднее с вероятностью 95% лежит в интервале от 2,08 до 9,93. Режим «σ неизвестна» с теми же данными даст этот интервал.
Метод: σ известна (z-интервал)
- Условие. Та же выборка, но известно \(\sigma = 2\). Постройте 95%-й интервал.
- Формула. \(\bar{x} \pm z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
- Подстановка. \(z = 1{,}96\) для 95%, \(\sigma = 2\).
- Вычисление. Погрешность \(1{,}96 \times \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 1{,}753\), интервал \([4{,}247; 7{,}753]\).
- Ответ. Интервал уже: от 4,25 до 7,75 — известная дисперсия сужает оценку. Режим «σ известна» даст этот интервал.
Главное
- Интервал: \(\bar{x} \pm \text{квантиль} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
- σ известна — нормальный квантиль \(z\), неизвестна — Стьюдент \(t\).
- Чем больше выборка, тем уже интервал.