Математическое ожидание и дисперсия

По закону распределения: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение

Значения случайной величины через пробел или запятую

Вероятности тех же значений в том же порядке

Если сумма не равна 1 — разделить каждую вероятность на сумму

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Улучшить калькулятор «Математическое ожидание и дисперсия»

Теория

Дискретная случайная величина принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Таблица «значение — вероятность» называется законом распределения: например, для игрального кубика это значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое с вероятностью \(1/6\). Главное требование к такой таблице: вероятности неотрицательны и в сумме дают ровно 1.

Среднее значение случайной величины называют математическим ожиданием: \(M(X) = \sum_i x_i p_i\) — сумма произведений каждого значения на его вероятность. Для правильного кубика \(M(X) = 3{,}5\): отдельные броски дают целые числа, а среднее по многим броскам стремится к 3,5. Если кубик «неправильный» и шестёрка выпадает чаще, ожидание смещается в сторону более вероятных значений.

Насколько значения разбросаны вокруг среднего, показывает дисперсия: \(D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\), где \(M(X^2) = \sum_i x_i^2 p_i\). Дисперсия измеряется в квадратных единицах, поэтому для наглядности из неё извлекают корень и получают среднее квадратичное отклонение \(\sigma = \sqrt{D(X)}\) — оно показывает типичное отклонение значения от среднего.

Важно: математическое ожидание не обязано совпадать ни с одним значением величины: у кубика это 3,5, хотя пятёрка с половиной не выпадает.

Пример с решением

  1. Условие. Величина принимает значения 1, 2, 3, 4 с равными вероятностями 0,25. Найдите \(M(X)\), \(D(X)\) и \(\sigma\).
  2. Ожидание. \(M(X) = 1 \times 0{,}25 + 2 \times 0{,}25 + 3 \times 0{,}25 + 4 \times 0{,}25 = 2{,}5\).
  3. Второй момент. \(M(X^2) = 1 \times 0{,}25 + 4 \times 0{,}25 + 9 \times 0{,}25 + 16 \times 0{,}25 = 7{,}5\).
  4. Дисперсия. \(D(X) = 7{,}5 - 2{,}5^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25\).
  5. Отклонение. \(\sigma = \sqrt{1{,}25} \approx 1{,}118\).
  6. Проверка. \(M(X) = 2{,}5\) лежит между наименьшим (1) и наибольшим (4) значениями, дисперсия положительна — разброс есть.
  7. Ответ. \(M(X) = 2{,}5\), \(D(X) = 1{,}25\), \(\sigma \approx 1{,}118\). В калькуляторе это поля «Значения» (1 2 3 4) и «Вероятности» (0,25 0,25 0,25 0,25).

Главное

  • Закон распределения: значения и вероятности, сумма вероятностей равна 1.
  • Математическое ожидание: \(M(X) = \sum_i x_i p_i\) — средневзвешенное значение.
  • Дисперсия: \(D(X) = M(X^2) - (M(X))^2\); измеряется в квадратных единицах.
  • Отклонение: \(\sigma = \sqrt{D(X)}\) — типичный разброс вокруг среднего.