Экспоненциальное распределение

Теория

Экспоненциальное распределение описывает время ожидания между независимыми событиями: время до следующего звонка, срок службы прибора до отказа. Параметр \(\lambda\) — интенсивность: среднее время ожидания равно \(1/\lambda\).

Плотность вероятности: \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) для \(x \ge 0\). Функция распределения \(F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}\) — вероятность дождаться события за время не более \(x\). Ключевое свойство — отсутствие памяти: сколько бы времени уже ни прошло, распределение оставшегося ожидания не меняется.

Важно: экспоненциальное распределение определено только для неотрицательных \(x\) — время не бывает отрицательным.

Пример с решением

Метод: Плотность f(x)

1. Условие. Прибор ломается в среднем раз в два года (\(\lambda = 0{,}5\)). Найдите плотность в точке \(x = 2\).
2. Формула. \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\).
3. Подстановка. \(f(2) = 0{,}5 \times e^{-0{,}5 \times 2} = 0{,}5 \times e^{-1}\).
4. Вычисление. \(0{,}5 \times 0{,}3679 \approx 0{,}1839\).
5. Ответ. \(f(2) \approx 0{,}184\). Режим «Плотность» с λ = 0,5, x = 2 даст то же значение.

Метод: Функция распределения F(x)

1. Условие. Какова вероятность, что прибор проработает не более двух лет?
2. Формула. \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\).
3. Подстановка. \(F(2) = 1 - e^{-1}\).
4. Вычисление. \(1 - 0{,}3679 \approx 0{,}6321\).
5. Ответ. Вероятность отказа в первые два года — около 63,2%. Режим «F(x)» даст ≈0,632.

Главное

• Параметр \(\lambda\) — интенсивность; среднее ожидание \(1/\lambda\).
• Плотность: \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\), функция — \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\).
• Свойство отсутствия памяти — оставшееся ожидание не зависит от прошедшего времени.