Частоты и относительные частоты

Теория

Частота показывает, сколько раз значение встретилось в выборке, а относительная частота — какую долю от всех данных оно составляет: \(w_i = \frac{n_i}{n}\), где \(n_i\) — частота значения, \(n\) — объём выборки. Накопленная относительная частота — это сумма относительных частот от первого значения до текущего: она показывает, какая доля данных не превышает данное значение.

Сумма всех относительных частот всегда равна 1 (то есть 100 %) — это главная проверка при построении таблицы. Значение с самой большой частотой называют модой; если максимальную частоту делят несколько значений, мод несколько, а если все значения встречаются одинаково часто, моды нет.

Когда признак принимает много разных значений (например, рост или время), строят интервальную таблицу: размах \(x_{\max} - x_{\min}\) делят на \(k\) равных интервалов с шагом \(h = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{k}\) и считают, сколько значений попало в каждый. Левый конец интервала включается, правый — нет; последний интервал закрывают справа, чтобы максимум не выпал из таблицы.

Важно: относительная частота — это доля, а не количество. Сравнивать выборки разного объёма можно только по относительным частотам: 3 из 8 и 30 из 80 — одинаковая доля.

Пример с решением

1. Условие. Дан ряд измерений: 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9. Постройте таблицу частот и найдите моду.
2. Формула. \(w_i = \frac{n_i}{n}\), накопленная частота — \(w_1 + w_2 + \dots + w_i\).
3. Подстановка. Объём выборки \(n = 8\); различных значений 5: у 2 частота 1, у 3 — 2, у 5 — 1, у 7 — 3, у 9 — 1.
4. Вычисление. Относительные частоты: \(\frac{1}{8} = 0{,}125\) (12,5 %), \(\frac{2}{8} = 0{,}25\) (25 %), \(\frac{3}{8} = 0{,}375\) (37,5 %). Накопленные: 12,5 %, 37,5 %, 50 %, 87,5 %, 100 %.
5. Ответ. Чаще всех встречается 7 — три раза из восьми (37,5 %): это мода. Сумма относительных частот равна 1. Калькулятор в режиме «Таблица частот» с данными 2 3 3 5 7 7 7 9 построит такую же таблицу.

Главное

• Относительная частота: \(w_i = \frac{n_i}{n}\) — доля значения среди всех данных.
• Накопленная частота — сумма относительных частот до текущего значения; в конце она равна 1.
• Мода — самое частое значение; мод может быть несколько, а может не быть вовсе.
• Интервальная таблица: шаг \(h = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{k}\), максимум попадает в последний интервал.