Гамма-распределение

Теория

Гамма-распределение обобщает экспоненциальное и описывает время ожидания не первого, а \(k\)-го события: время накопления \(k\) звонков, суммарное время обслуживания очереди. Параметр формы \(k\) задаёт число «складываемых» событий, параметр масштаба \(\theta\) — их средний интервал.

Плотность: \(f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\theta^k}\). При \(k = 1\) это экспоненциальное распределение, при большом \(k\) форма приближается к нормальной. Функция распределения выражается через неполную гамма-функцию.

Важно: гамма-распределение определено только для \(x > 0\) — время ожидания не бывает отрицательным.

Пример с решением

Метод: Плотность f(x)

1. Условие. Найдите плотность при \(k = 2\), \(\theta = 1\) в точке \(x = 1\).
2. Формула. \(f(x) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\theta^k}\).
3. Подстановка. \(\Gamma(2) = 1\), \(\theta^k = 1\): \(f(x) = x e^{-x}\).
4. Вычисление. \(f(1) = 1 \times e^{-1} \approx 0{,}3679\).
5. Ответ. \(f(1) \approx 0{,}368\). Режим «Плотность» с k = 2, θ = 1, x = 1 даст то же значение.

Метод: Функция распределения F(x)

1. Условие. Найдите \(P(X \le 1)\) при \(k = 2\), \(\theta = 1\).
2. Формула. \(F(x) = 1 - e^{-x/\theta}\sum_{i=0}^{k-1} \frac{(x/\theta)^i}{i!}\).
3. Подстановка. \(F(1) = 1 - e^{-1}(1 + 1)\).
4. Вычисление. \(1 - 2 \times 0{,}3679 \approx 0{,}2642\).
5. Ответ. \(P(X \le 1) \approx 0{,}264\). Режим «F(x)» даст ≈0,264.

Метод: Квантиль x(p)

1. Условие. Найдите медиану распределения с \(k = 2\), \(\theta = 1\).
2. Формула. Квантиль — решение уравнения \(F(x) = p\).
3. Подстановка. \(F(x) = 1 - e^{-x}(1 + x) = 0{,}5\).
4. Вычисление. Численное решение даёт \(x \approx 1{,}678\).
5. Ответ. Медиана \(\approx 1{,}68\) — половина времени ожидания меньше этого значения. Режим «Квантиль» с p = 0,5 даст ≈1,678.

Главное

• Параметры: форма \(k\) и масштаб \(\theta\); среднее — \(k\theta\).
• При \(k = 1\) совпадает с экспоненциальным распределением.
• Определено только для \(x > 0\).