Теория
Метод Гаусса решает систему линейных уравнений последовательным исключением неизвестных. Систему записывают расширенной матрицей: коэффициенты при неизвестных и столбец свободных членов, отделённый вертикальной чертой.
Прямой ход — приведение к ступенчатому виду: к строке можно прибавить другую, умноженную на число, и переставить строки. Эти преобразования не меняют множество решений. Обратный ход — из последнего уравнения находят переменную, подставляют в предыдущие и так поднимаются вверх.
Исходов три, и различает их теорема Кронекера–Капелли. Если ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и числу неизвестных — решение единственное. Если ранги равны, но меньше числа неизвестных — решений бесконечно много, а переменные, не попавшие в ведущие столбцы, становятся свободными. Если ранг расширенной матрицы больше — система несовместна.
Важно: строка вида «0 = 5» в приведении означает несовместность: система решений не имеет.
Пример с решением
- Условие. Решить систему 2x₁ + x₂ − x₃ = 8; −3x₁ − x₂ + 2x₃ = −11; −2x₁ + x₂ + 2x₃ = −3.
- Прямой ход. Исключаем x₁ из второго и третьего уравнений и x₂ из третьего: получаем ступенчатую систему с диагональными коэффициентами.
- Обратный ход. Из последнего уравнения x₃ = −1; подставляем во второе — x₂ = 3; подставляем в первое — x₁ = 2.
- Проверка. 2·2 + 3 − (−1) = 8; −6 − 3 − 2 = −11; −4 + 3 − 2 = −3 — все уравнения сходятся.
- Ответ. x₁ = 2, x₂ = 3, x₃ = −1 — решение единственное, ранги равны числу неизвестных.
Главное
- Прямой ход — ступенчатый вид, обратный ход — подстановка снизу вверх.
- Единственное решение: ранги равны числу неизвестных.
- Свободные переменные дают бесконечно много решений; строка «0 = число» — несовместность.